高斯近似与 design-SNR：工程构造如何落地

第 9 篇说明了严格密度进化（DE）为什么必须追踪完整的 L-density：加号分支是 LLR 相加，减号分支是 box-plus 非线性映射。严格 DE 的信息最完整，但离散化、卷积和二维映射会带来较高计算代价。

本篇讨论工程中更常用的高斯近似（Gaussian Approximation，GA）。GA 不再保存每个子信道的一整条密度，而是假设它可以用一个 LLR 均值描述，再通过 $\phi$ 函数近似减号分支。这样既保留了 Polar 递归的结构，又把构造计算压缩到一组标量递推。

本文继续采用 0-based 索引。码长为 $N=2^n$ ，信息长度为 $K$ ，码率为 $R=K/N$ 。接收观测写作 $\underline{y}$ ，原始信道 LLR 写作 $\underline{\lambda}$ ，可靠性排序序列写作 $\boldsymbol{\pi}$ 。

为什么要把 L-density 压缩成均值

严格 DE 为每个子信道保存概率密度 $a_i^{(N)}(\ell)$ 。这能保留正负尾部、集中程度和非线性变换后的形状，但网格桶数一多，内存和运算量都会迅速增长。构造器真正需要的结果却通常只是一个排序：哪个索引更可靠。

GA 的出发点是：在对称二元输入信道、全零码字参考和前面比特均判决正确的条件下，用一个对称高斯分布来表示每条 Polar LLR 消息：

L\sim\mathcal{N}(\mu,2\mu)

这里的 $\sim$ 表示“按照这个高斯模型服从该分布”。它不是说真实 LLR 在任何信道上都严格高斯；真实 L-density 仍可能偏离这个模型，这正是 GA 的近似来源。参数 $\mu=\mathbb{E}[L]$ 是模型中的均值，方差被对称性约束为 $2\mu$ ，因此在这个高斯族中只需保存一个非负数 $\mu$ 。

为什么这个均值可以用来衡量可靠性？在全零参考下，正确判决对应正 LLR，错误判决对应负 LLR。若 $L\sim\mathcal{N}(\mu,2\mu)$ ，则单次硬判决出错的概率为：

\Pr(L<0)=Q\left(\frac{\mu}{\sqrt{2\mu}}\right)=Q\left(\sqrt{\frac{\mu}{2}}\right)

其中 $Q(\cdot)$ 是标准高斯右尾概率。随着 $\mu$ 增大， $Q(\sqrt{\mu/2})$ 单调减小，所以均值越大，错误概率越低。与此同时，模型的方差也随 $\mu$ 一起确定，不能出现“均值相同但方差任意不同”的情况。因此，在对称高斯假设成立时， $\mu$ 能完整确定这条近似 LLR 分布，并可以作为可靠性指标。

这句话有一个重要边界：对于任意真实 L-density，均值一般不能完整代表可靠性。两个非高斯分布可能均值相同，但负 LLR 尾部不同，错误概率也不同。DE 之所以保留完整密度，正是为了保留这类信息；GA 则主动接受这种信息损失，以换取较低的构造复杂度。

这个假设的好处是加号分支在高斯模型内立即闭合。若 $L_0\sim\mathcal{N}(\mu_0,2\mu_0)$ 、 $L_1\sim\mathcal{N}(\mu_1,2\mu_1)$ 且相互独立，则：

L^+=L_0+L_1\sim\mathcal{N}(\mu_0+\mu_1,2(\mu_0+\mu_1))

因此，加号分支在“输入服从对称高斯分布”的假设内仍然是高斯分布，均值递推没有额外的 GA 近似：

\mu^+=\mu_0+\mu_1

困难只剩减号分支。box-plus 变换不会把两个高斯变量变成高斯变量，所以需要一个能描述“可靠性损失”的标量函数。

对称高斯假设从哪里来

对称 L-density 满足 $a(\ell)=e^{\ell}a(-\ell)$ 。GA 用 $L\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma_L^2)$ 近似它；将高斯密度比代入这一对称性，比较 $a(\ell)/a(-\ell)$ 的指数项可得：

\ln\frac{a(\ell)}{a(-\ell)}=\frac{2\mu}{\sigma_L^2}\ell

要使右侧等于 $\ell$ ，就需要 $\sigma_L^2=2\mu$ 。这解释了为什么 GA 使用 $\mathcal{N}(\mu,2\mu)$ ：它不是任意选择的方差，而是满足对称 LLR 关系的高斯特例。

对底层 BI-AWGN 信道，BPSK 映射为 $x=1-2c$ ，观测为 $y=x+z$ ，其中 $z\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2)$ 。原始 LLR 为：

\lambda=\ln\frac{W(y\mid0)}{W(y\mid1)}=\frac{2y}{\sigma^2}

在全零参考下 $y=1+z$ ，所以：

\lambda\sim\mathcal{N}\left(\frac{2}{\sigma^2},\frac{4}{\sigma^2}\right)=\mathcal{N}(\mu_0,2\mu_0),\qquad \mu_0=\frac{2}{\sigma^2}

因此，在 BI-AWGN 信道上，初始 LLR 本身就严格服从一个满足该形式的高斯分布；经过 Polar 递归后，才需要用 GA 继续近似。后续递归只保存均值，不再显式保存整条密度。

$\phi(x)$ 函数保存了什么

对称高斯模型中的变量 $L\sim\mathcal{N}(x,2x)$ 有一个适合描述 LLR 可靠性的统计量：

\phi(x)=1-\mathbb{E}\left[\tanh\left(\frac{L}{2}\right)\right]

把高斯密度写开，可以得到常用积分形式（ $x>0$ ）：

\phi(x)=1-\frac{1}{\sqrt{4\pi x}}\int_{-\infty}^{+\infty}\tanh\left(\frac{u}{2}\right)\exp\left(-\frac{(u-x)^2}{4x}\right)\,\mathrm{d}u

$<span class="katex-eq" data-katex-display="false">\phi(x)曲线</span>$

并约定 $\phi(0)=1$ 。当 $x$ 增大时，LLR 更集中在正方向， $\mathbb{E}[\tanh(L/2)]$ 增大，因此 $\phi(x)$ 单调下降； $x=0$ 对应完全没有方向信息， $\phi=1$ ，而 $x\to+\infty$ 时 $\phi\to0$ 。

所以 $\phi$ 把“均值参数”映射成一个类似不可靠度的量。由于 $\mu$ 已经确定了对称高斯模型， $\phi(\mu)$ 也只是均值的函数。它的作用不是重新定义 Bhattacharyya 参数，而是把 box-plus 中的双曲正切乘积转换成可以递推的标量。

从 box-plus 推导 GA 的递推

这里要区分精确公式和近似步骤。Arıkan 2009 给出了减号分支的精确 box-plus LLR 关系；下面的 $\phi$ 递推则是高斯近似构造中使用的参数化方法，见 Trifonov 2012。推导中的“精确”只指 box-plus 变换和独立性带来的期望分解；把输出重新表示成对称高斯分布，是 GA 的近似步骤。

减号分支的精确 box-plus LLR 关系为：

L^-_{\mathrm{box}}=2\operatorname{atanh}\left(\tanh\frac{L_0}{2}\tanh\frac{L_1}{2}\right)

两边除以 2 后取双曲正切：

\tanh\left(\frac{L^-_{\mathrm{box}}}{2}\right)=\tanh\left(\frac{L_0}{2}\right)\tanh\left(\frac{L_1}{2}\right)

在独立性条件下取期望：

\mathbb{E}\left[\tanh\left(\frac{L^-_{\mathrm{box}}}{2}\right)\right]=\mathbb{E}\left[\tanh\left(\frac{L_0}{2}\right)\right]\mathbb{E}\left[\tanh\left(\frac{L_1}{2}\right)\right]

这里的期望是对随机 LLR $L_0,L_1$ 的联合分布取的；由于两路观测来自独立的物理信道，两路 LLR 独立，所以乘积的期望可以拆成两个期望。输入 LLR 按 GA 假设分别服从 $\mathcal{N}(\mu_j,2\mu_j)$ ，因此根据 $\phi$ 的定义：

\mathbb{E}\left[\tanh\left(\frac{L^-_{\mathrm{box}}}{2}\right)\right]=\left(1-\phi(\mu_0)\right)\left(1-\phi(\mu_1)\right)

但是， $L^-_{\mathrm{box}}$ 一般不再严格服从高斯分布。GA 接下来用一个新的对称高斯变量表示它：

L^-_{\mathrm{GA}}\sim\mathcal{N}(\mu^-,2\mu^-)

并要求这个新高斯变量保留刚才得到的双曲正切期望：

\mathbb{E}\left[\tanh\left(\frac{L^-_{\mathrm{GA}}}{2}\right)\right]=\mathbb{E}\left[\tanh\left(\frac{L^-_{\mathrm{box}}}{2}\right)\right]

由于 $L^-_{\mathrm{GA}}\sim\mathcal{N}(\mu^-,2\mu^-)$ ，左边按 $\phi$ 的定义等于 $1-\phi(\mu^-)$ 。于是才得到：

1-\phi(\mu^-)=\left(1-\phi(\mu_0)\right)\left(1-\phi(\mu_1)\right)

因此，GA 的减号均值递推为：

\mu^-=\phi^{-1}\left(1-\left(1-\phi(\mu_0)\right)\left(1-\phi(\mu_1)\right)\right)

这不是把两个高斯变量经过 box-plus 后仍然“证明成高斯”，而是先计算精确 box-plus 输出的一个统计量，再寻找具有相同统计量的对称高斯均值。这个“重新用高斯表示”的步骤正是 GA 的近似所在。

加号和减号合在一起就是：

\boxed{\mu^+=\mu_0+\mu_1},\qquad\boxed{\mu^-=\phi^{-1}\left(1-\left(1-\phi(\mu_0)\right)\left(1-\phi(\mu_1)\right)\right)}

当两个输入来自同一个节点、均值都为 $\mu$ 时，减号公式简化为：

\mu^-=\phi^{-1}\left(2\phi(\mu)-\phi(\mu)^2\right),\qquad \mu^+=2\mu

由于 $\phi$ 单调下降，括号中的值越小，对应的 $\mu^-$ 越大；但与加号相比，减号均值通常显著更小。这正是 GA 对极化“分化”过程的标量描述。

工程实现中的 $\mu^-$ 近似

上面的递推把 $\phi^{-1}$ 当作一个一维反函数，但实际程序通常不会在每个节点上做数值积分。常用做法是用 Chung 型分段式近似替代 $\phi$ ：

\widehat{\phi}(x)= \begin{cases} \exp\left(-0.4527x^{0.86}+0.0218\right), & 0<x<10,\\ \sqrt{\frac{\pi}{x}}\exp\left(-\frac{x}{4}\right)\left(1-\frac{10}{7x}\right), & x\ge 10. \end{cases}

实际代码通常令 $\widehat{\phi}(0)=1$ ，并把分段式输出截断到 $[0,1]$ ，以免小 $x$ 区域的拟合值略高于 $1$ 。

在第一段的有效范围内，反函数可以直接写成：

\widehat{\phi}^{-1}(q)\approx\left(\frac{-\ln q+0.0218}{0.4527}\right)^{1/0.86},\qquad 0.0394\lesssim q<1.

其中 $0.0394\approx\widehat{\phi}(10)$ 是两段近似的切换附近。由于第一段在 $x\to0^+$ 时的拟合值略高于 $1$ ，工程实现应先处理边界： $q\ge1$ 返回 $0$ ， $q\le0$ 返回一个表示 $+\infty$ 的饱和值；对中间的 $q$ 先截断到 $[0,1]$ 。当 $q<0.0394$ 时，可以在第二段 $x\ge10$ 上用单调二分或 Newton 迭代求解 $\widehat{\phi}(x)=q$ 。这样只需指数、对数和一次一维求根，不必计算原始积分。

于是 $\widehat{\mu^-}$ 可以写成：

\widehat{\mu^-}=\widehat{\phi}^{-1}\left(1-\left(1-\widehat{\phi}(\mu_0)\right)\left(1-\widehat{\phi}(\mu_1)\right)\right).

如果只关心极低复杂度的初步排序，还可以使用更粗的 min-sum 代理：

\mu^-_{\mathrm{MS}}\approx\min(\mu_0,\mu_1).

它对应“减号分支由较弱输入主导”的直觉，不再是 GA 的 $\phi$ 近似；在可靠性接近的索引之间可能改变排序，正式构造仍建议使用分段 $\widehat{\phi}$ 或查表结果。

$N=4$ 的 GA 构造小例子

取 $N=4$ ，基础 BI-AWGN 信道噪声方差 $\sigma^2=1$ 。于是底层均值为：

\mu_0=\frac{2}{1}=2

第一层两个节点分别是：

\mu_-=\phi^{-1}\left(2\phi(2)-\phi(2)^2\right),\qquad \mu_+=4

为了突出递推过程，记 $a=\mu_-$ 。第二层四个子信道按路径得到（以下 $m_i$ 是第二层的四个均值，避免与底层 $\mu_0$ 混用）：

\begin{aligned} m_0&=\phi^{-1}\left(2\phi(a)-\phi(a)^2\right),\\ m_1&=2a,\\ m_2&=\phi^{-1}\left(2\phi(4)-\phi(4)^2\right),\\ m_3&=8. \end{aligned}

这里下标 0、1、2、3 对应路径 $--$ 、 $-+$ 、 $+-$ 、 $++$ 。即使不手工求出 $\phi^{-1}$ ，也能由单调性得到：

m_0<m_1<m_2<m_3

数值实现通常用查表或一维二分搜索计算 $\phi^{-1}$ 。例如在一个固定网格上预先保存 $(x,\phi(x))$ ，给定目标值后在单调表中插值；也可以直接用二分法寻找满足 $\phi(x)=q$ 的 $x$ 。

因此可靠性排序序列按 $m_i$ 从大到小为：

\boldsymbol{\pi}=(3,2,1,0)

若 $K=2$ ，先取排序序列前两个索引，再把它们视为无序集合：

\mathcal{A}=\{2,3\},\qquad \mathcal{A}^c=[0,3]\setminus\mathcal{A}=\{0,1\}

这个结果与 BEC 小码长中观察到的“右侧路径更可靠”一致，但数值来源不同：BEC 使用擦除率递推，GA 使用 AWGN 的 LLR 均值递推。

design-SNR 如何进入初始均值

构造时不能只写一个模糊的“信噪比”。GA 需要一个固定的设计点，记作 $\rho_{\mathrm{des}}$ 。先约定 BPSK 符号能量 $E_s=1$ ，噪声双边功率谱密度满足 $N_0=2\sigma^2$ 。因为每个信息比特平均占用 $1/R$ 个发送符号，所以 $E_b=E_s/R=1/R$ 。在线性域中：

\rho_{\mathrm{des}}=\left(E_b/N_0\right)_{\mathrm{des}}=\frac{1}{2R\sigma_{\mathrm{des}}^2}

代回 $\mu_0=2/\sigma^2$ ，得到常用的初始均值表达式：

\mu_0=4R\rho_{\mathrm{des,lin}}

如果设计点用 dB 表示，必须先转换：

\rho_{\mathrm{des,lin}}=10^{\rho_{\mathrm{des,dB}}/10}

例如 $R=1/2$ 、 $\rho_{\mathrm{des}}=2\,\mathrm{dB}$ 时：

\mu_0=4\times\frac12\times10^{2/10}=2\times10^{0.2}\\approx3.1698

上式容易混淆，正确计算是 $4R=2$ ，因此 $\mu_0=2\times10^{0.2}\approx3.1698$ 。这里特意展开单位换算，是为了避免把 dB 数值 2 直接代入线性公式。

不同文献可能采用 $E_s/N_0$ 、复 AWGN 或不同 BPSK 能量归一化；使用 GA 前必须先写清楚噪声方差约定，再推导对应的 $\mu_0$ ，不能机械套用某个常数。

$\rho_{\mathrm{des}}$ 和 $\rho_{\mathrm{sim}}$ 为什么必须分开

$\rho_{\mathrm{des}}$ 只用于构造：它决定 GA 从哪个噪声水平开始递推，从而决定排序 $\boldsymbol{\pi}$ 。实际仿真信噪比记作 $\rho_{\mathrm{sim}}$ ，它决定发送端加入多少噪声以及最终 BER、BLER 曲线的横坐标。两者可以相同，也可以有意不同。

常见实验流程是：

固定 $N,K$ 和 $\rho_{\mathrm{des}}$ ，运行 GA 得到一次 $\boldsymbol{\pi}$ 。
取排序序列中排在前面的 $K$ 个索引，得到 $\mathcal{A}$ 与 $\mathcal{A}^c$ 。
固定这组位置，在多个 $\rho_{\mathrm{sim}}$ 上重复编码、加噪和译码。
记录 BER、BLER；必要时再改变 $\rho_{\mathrm{des}}$ 做构造敏感性比较。

如果每个仿真 SNR 点都重新构造一次，就无法判断“同一套码在不同信道条件下”的曲线；如果永远令两者相等，又无法观察设计点偏移带来的鲁棒性。两种实验都可以做，但变量含义必须明确。

四类构造方法如何放在同一张地图上

方法	传播对象	主要参数	优点	局限
BEC/Bhattacharyya	擦除率或 $Z$	$\epsilon$	公式简单、便于手算	不能直接描述 AWGN
DE	完整 L-density	网格、截断区间	精度高，可作基准	计算和内存开销大
GA	LLR 均值 $\mu_i$	$\rho_{\mathrm{des}}$	快，适合 AWGN 构造	依赖高斯近似
RM/PW	索引结构或权重	PW 参数等	不必追踪信道分布	可能偏离特定信道最优排序

GA 的定位不是取代 DE 的理论价值，而是用可控的近似换取构造速度。实际工程中常见做法是用 DE 或文献可靠性序列做少量基准，再用 GA 批量生成不同 $N,K$ 和设计点的构造结果。

构造器接口和数值实现

一个清晰的构造器可以把“信道参数”“递推方法”和“选位”拆开。伪接口如下：

\boldsymbol{\pi}=\mathrm{GAReliabilityRanking}(N,R,\rho_{\mathrm{des}})

\mathcal{A}=\mathrm{SelectInformationSet}(\boldsymbol{\pi},K),\qquad\mathcal{A}^c=[0,N-1]\setminus\mathcal{A}

实现 $\phi$ 和 $\phi^{-1}$ 时需要注意三点：

$\phi(0)=1$ 要单独处理，避免积分式中的除零。
浮点误差可能让目标值略微超出 $[0,1]$ ，调用反函数前应截断到该区间。
$\phi$ 单调下降，查表必须按自变量升序保存，并在相邻区间内插值或二分。

下面给出一个可以直接接入仿真的 GA 构造函数。函数输入为母码长 $N$ 、码率 $R$ 和构造用 $\rho_{\mathrm{des}}$ （dB），输出按“最可靠到最不可靠”排列的索引序列 $\boldsymbol{\pi}$ 。为了让示例自洽，代码采用本文前面约定的 $E_s=1$ 、 $N_0=2\sigma^2$ ，因此底层 LLR 均值为 $\mu_0=4R\rho_{\mathrm{des,lin}}$ 。

#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstddef>
#include <numeric>
#include <stdexcept>
#include <utility>
#include <vector>

namespace polar_ga {

constexpr double kPi = 3.14159265358979323846;

// Chung 型分段近似：输入是 LLR 均值，输出是 phi(x) 的近似值。
double phi(double x) {
    if (x <= 0.0) {
        // x=0 表示没有可靠性，按定义 phi(0)=1。
        return 1.0;
    }
    double value;
    if (x < 10.0) {
        // 小均值区间使用幂函数和指数的拟合式。
        value = std::exp(-0.4527 * std::pow(x, 0.86) + 0.0218);
    } else {
        // 大均值区间使用渐近形式，避免直接积分高斯密度。
        value = std::sqrt(kPi / x) * (1.0 - 10.0 / (7.0 * x))
              * std::exp(-x / 4.0);
    }
    // 拟合式在边界附近可能有极小的越界，先裁剪到合法范围。
    return std::clamp(value, 0.0, 1.0);
}

// phi 单调下降，因此可以用二分搜索求 phi^{-1}(target)。
double phiInverse(double target) {
    target = std::clamp(target, 0.0, 1.0);
    if (target >= 1.0) {
        // phi(0)=1，对应的反函数值是 0。
        return 0.0;
    }
    if (target <= 0.0) {
        // 这里只需一个足够大的有限值表示 phi^{-1}(0)=+infinity。
        return 1.0e3;
    }

    double low = 0.0;
    double high = 1.0;
    // 先扩展上界，直到 phi(high) 不大于目标值。
    while (phi(high) > target && high < 1.0e3) {
        high *= 2.0;
    }
    // 二分 80 次已经远超 double 在本问题中的实际需求。
    for (int iteration = 0; iteration < 80; ++iteration) {
        const double mid = 0.5 * (low + high);
        if (phi(mid) > target) {
            low = mid;   // phi 仍然太大，需要增大 x。
        } else {
            high = mid;  // phi 太小，需要减小 x。
        }
    }
    return 0.5 * (low + high);
}

// 返回按可靠性从高到低排列的 Polar 子信道索引；结果就是 pi。
std::vector<std::size_t> constructPolarGA(
    std::size_t N, double rate, double designSnrDb) {
    if (N == 0 || (N & (N - 1)) != 0) {
        throw std::invalid_argument("N must be a positive power of two");
    }
    if (!(rate > 0.0 && rate <= 1.0)) {
        throw std::invalid_argument("rate must be in (0, 1]");
    }

    unsigned n = 0;
    while ((std::size_t{1} << n) < N) {
        ++n;
    }

    // dB 必须先转为线性值，再代入 LLR 均值公式。
    const double designSnrLinear = std::pow(10.0, designSnrDb / 10.0);
    const double initialMean = 4.0 * rate * designSnrLinear;
    std::vector<double> mean{initialMean};

    // 每轮把每个父节点展开成 [减号, 加号] 两个子节点。
    // 这样得到的叶子顺序正好是 --、-+、+-、++，与本文的 W_N^(i)
    // 路径约定一致，因此这里不再额外套用 bit-reversal。
    for (unsigned lev = 1; lev <= n; ++lev) {
        std::vector<double> next;
        next.reserve(mean.size() * 2);
        for (const double parent : mean) {
            const double target = 1.0
                - (1.0 - phi(parent)) * (1.0 - phi(parent));
            next.push_back(phiInverse(target)); // 当前父节点的 W^- 分支
            next.push_back(2.0 * parent);        // 当前父节点的 W^+ 分支
        }
        mean = std::move(next);
    }

    std::vector<std::size_t> order(N);
    std::iota(order.begin(), order.end(), 0);
    std::sort(order.begin(), order.end(), [&](std::size_t a, std::size_t b) {
        const double meanA = mean[a];
        const double meanB = mean[b];
        // 均值越大越可靠；索引作为次关键字保证结果可复现。
        if (meanA != meanB) {
            return meanA > meanB;
        }
        return a < b;
    });
    return order;
}

}

调用 constructPolarGA(N, R, rhoDesDb) 得到的向量就是 $\boldsymbol{\pi}$ 。例如 constructPolarGA(1024, 0.5, 2.0) 表示用 $N=1024$ 、 $R=0.5$ 和 $\rho_{\mathrm{des}}=2$ dB 构造可靠性序列；随后取返回序列的前 $K$ 个索引形成信息集合 $\mathcal{A}$ 。代码只负责构造和排序，不会把 $\rho_{\mathrm{sim}}$ 的噪声加入过程混进来。

常见误区

第一，把 GA 说成严格 DE。GA 只保留均值并假设对称高斯，减号分支是近似；严格 DE 才追踪完整密度。

第二，把 $\phi$ 当成 Bhattacharyya 参数本身。两者都能表达不可靠度，但定义、取值和递推来源不同，不能不加说明地互换。

第三，把 $\rho_{\mathrm{des}}$ 和 $\rho_{\mathrm{sim}}$ 写成同一个变量。前者决定构造，后者决定测试条件。

第四，忘记 dB 到线性域的转换。 $2\,\mathrm{dB}$ 不是公式中的数值 2，而是 $10^{2/10}$ 的线性倍数。

第五，只按路径中加号数量排序。 $-+$ 和 $+-$ 的递推顺序不同，非线性 $\phi^{-1}$ 会使最终均值不同，必须实际计算。

第六，把设计点改动后仍沿用旧排序。只要 $N$ 、码率、信道模型或 $\rho_{\mathrm{des}}$ 改变，就应重新计算或明确说明沿用的可靠性序列来源。

小结

GA 用对称高斯假设把一条 L-density 压缩为均值：

L_i\sim\mathcal{N}(\mu_i,2\mu_i)

加号分支的均值直接相加：

\mu^+=\mu_0+\mu_1

减号分支利用 $\phi$ 函数闭合：

\mu^-=\phi^{-1}\left(1-\left(1-\phi(\mu_0)\right)\left(1-\phi(\mu_1)\right)\right)

BI-AWGN、BPSK 和噪声方差约定给出初始均值 $\mu_0=2/\sigma^2$ 。在 $E_s=1$ 、 $N_0=2\sigma^2$ 的约定下，还可以写成：

\mu_0=4R\rho_{\mathrm{des,lin}}

递推得到的均值按从大到小形成 $\boldsymbol{\pi}$ ，再取排序序列中排在前面的 $K$ 个索引作为 $\mathcal{A}$ 。构造信噪比 $\rho_{\mathrm{des}}$ 和仿真信噪比 $\rho_{\mathrm{sim}}$ 负责不同阶段，必须分开记录。

下一篇将从“为什么 SC 可以逐位判决”开始，把构造完成后的 Polar 码送入第一个译码器。

参考

E. Arıkan, “Channel polarization: A method for constructing capacity-achieving codes for symmetric binary-input memoryless channels,” IEEE Transactions on Information Theory, vol. 55, no. 7, pp. 3051–3073, Jul. 2009, doi: 10.1109/TIT.2009.2021379.
D. Trifonov, “Efficient design and decoding of polar codes,” IEEE Transactions on Communications, vol. 60, no. 11, pp. 3221–3227, Nov. 2012, doi: 10.1109/TCOMM.2012.090512.110070.
R. Mori and T. Tanaka, “Performance and construction of polar codes on symmetric binary-input memoryless channels,” IEEE Transactions on Information Theory, vol. 59, no. 5, pp. 2883–2901, May 2013, doi: 10.1109/TIT.2013.2248212.
I. Tal and A. Vardy, “How to construct polar codes,” IEEE Transactions on Information Theory, vol. 59, no. 10, pp. 6562–6582, Oct. 2013, doi: 10.1109/TIT.2013.2272694.
S. B. Korada, E. Şaşoğlu, and R. Urbanke, “Polar Codes: Characterization of Exponent, Bounds, and Constructions,” IEEE Transactions on Information Theory, vol. 56, no. 12, pp. 6253–6264, Dec. 2010, doi: 10.1109/TIT.2010.2080990.

高斯近似与 design-SNR：工程构造如何落地

为什么要把 L-density 压缩成均值

对称高斯假设从哪里来

\phi(x) 函数保存了什么

从 box-plus 推导 GA 的递推

工程实现中的 \mu^- 近似

N=4 的 GA 构造小例子

design-SNR 如何进入初始均值

\rho_{\mathrm{des}} 和 \rho_{\mathrm{sim}} 为什么必须分开