本文给出一个可扩展的Polar仿真框架设计，说明构造、编码、率匹配、信道、译码和统计模块如何通过明确接口连接，并列出复现实验所需的配置与测试。

本文从通用偏序出发推导Beta-expansion与Polarization Weight，完整计算N=16的可靠性排序，并说明beta取值、嵌套性质、适用边界和C++实现。

本文从PAC码的编码链路出发，解释RM构造如何生成速率剖面，推导Polar生成矩阵的行重量公式，并用N=8的例子完整说明消息向量、卷积预编码和Polar变换之间的关系。

本文解释phi反函数为什么需要数值方法，推导分段近似和二分搜索的边界处理，并给出从初始均值到可靠性排序的完整C++示例。

本文从对称LLR分布出发，推导高斯近似中的phi函数、减号和加号递推，并用N=4的数值例子把每一步计算串起来。

本篇按3GPP TS 38.212串联5G NR控制信道中的CRC、交织、Polar编码、率匹配与译码，并回收本系列的完整知识主线。

本篇从母码长 N 和发送长度 E 的区别出发，推导打孔、缩短和重复的接收端 LLR 处理，并用 N=8 的例子说明三种率匹配方式。

本篇解释 Polar 码的容量可达结论为什么不等于短码性能，介绍系统 Polar 码与 CRC 的不同作用，并用可复算的例子说明 BER、BLER 和性能曲线的正确读法。

本篇从SC的错误传播出发，解释SCL如何保存多条当前路径，说明路径度量和冻结位更新，并用N=8、列表宽度为2的完整数值例子展示从接收LLR到最终候选的全过程。

本篇从二进制模 2 除法出发，解释 CRC 的定义、校验余数和 CRC-Polar 的完整工作流程，并用 CRC-4 和 SCL 候选路径例子说明 CRC 如何辅助列表译码。