5G NR中的Polar码：从规范链路到整个系列小结

前面几篇分别讨论了 Polar 码的构造、SC、SCL、CA-SCL 和率匹配。到了 5G NR，真正发送的并不是一段孤立的 Polar 编码公式，而是一条由多个模块组成的处理链：

\text{消息向量}\rightarrow\text{CRC}\rightarrow\text{掩码（适用时）}\rightarrow\text{输入交织}\rightarrow\text{Polar编码}\rightarrow\text{子块交织}\rightarrow\text{率匹配}\rightarrow\text{物理信道}.

每个模块都有自己的输入长度、输出长度和索引方向。只要其中一个位置定义错了，最终得到的比特数可能仍然正确，但接收端无法恢复发送端的消息。本篇按照 3GPP TS 38.212 说明模块关系；实际互操作时，具体信道的参数、表格和边界条件必须以规范为准。

为什么 5G NR 控制信道使用 Polar 码

控制信道承载调度、反馈和资源配置等信息。这类信息通常具有块长度有限、错误代价较高、发送资源需要灵活改变等特点。Polar 码在这个场景下有几个合适的特性：

• 冻结位和信息位集合可以把较可靠的子信道用于传递信息；
• SC 的复杂度较低，SCL 可以用多条路径减轻逐次判决的错误传播；
• CRC 可以在多条候选路径中提供额外的合法性检查；
• 率匹配可以把固定母码长适配到不同的发送长度 E。

这不意味着 Polar 码适合所有 5G 数据。5G NR 对数据信道和控制信道采用不同的编码方案，是因为它们在块长度、时延、资源分配和可靠性要求上不同。本文只关注控制信息使用的 Polar 处理链。

先区分五个长度

消息向量记为

\underline{m}_0^{A-1}=(m_0,m_1,\ldots,m_{A-1}),\qquad m_i\in\{0,1\}.

其中 A 是 CRC 添加前的消息向量长度。CRC 产生 L_{\mathrm{CRC}} 个校验比特，因此 CRC 后长度为

K_{\mathrm{enc}}=A+L_{\mathrm{CRC}}.

这里保留 K_{\mathrm{enc}} 这个写法，是为了对应 5G NR 规范中的字段含义。一般 Polar 理论文章如果只讨论进入编码器的信息长度，仍然可以使用 K。

Polar 母码长为 N，通常取 2 的幂；率匹配后的实际发送长度为 E。五个长度的含义如下：

符号	含义	所属阶段
A	CRC 前消息向量长度	输入
L_{\mathrm{CRC}}	CRC 长度	CRC 参数
K_{\mathrm{enc}}	CRC 后进入 Polar 链路的长度	K_{\mathrm{enc}}=A+L_{\mathrm{CRC}}
N	Polar 母码长	编码和译码
E	率匹配后的发送长度	物理信道输入

最容易犯的错误是把 E 当成 Polar 码长。率匹配前后，Polar 母码长仍是 N；接收端先把 E 个发送位置的观测恢复成 N 个码字位置的 LLR，之后译码器才开始工作。

发送端的完整链路

用符号表示，发送端可以写成

\begin{aligned} \underline{m}_0^{A-1}&\xrightarrow{\mathrm{CRC}}\underline{d}_0^{K_{\mathrm{enc}}-1}\xrightarrow{\mathrm{mask\ on\ CRC\ bits}}\underline{d}_{\mathrm{mask},0}^{K_{\mathrm{enc}}-1}\xrightarrow{\mathrm{input\ interleaving}}\underline{v}_0^{K_{\mathrm{enc}}-1}\\ &\xrightarrow{\mathrm{place\ and\ freeze}}\underline{u}_0^{N-1}\xrightarrow{\mathrm{Polar}}\underline{c}_0^{N-1}\xrightarrow{\mathrm{subblock\ interleaving}}\underline{b}_0^{N-1}\xrightarrow{\mathrm{rate\ matching}}\underline{e}_0^{E-1}. \end{aligned}

掩码和输入交织是否出现、具体怎样定义，要看所使用的 NR 控制信道和规范条款。上式中掩码只作用于 CRC 字段，不改变消息字段的内容。模块边界的长度仍然是：\underline{d}、\underline{d}_{\mathrm{mask}}、\underline{v} 都有 K_{\mathrm{enc}} 位，\underline{u}、\underline{c}、\underline{b} 都有 N 位，只有最终的 \underline{e} 长度是 E。

CRC：给候选消息加一个可检查的约束

CRC 的输入是 A 位消息向量，输出是 L_{\mathrm{CRC}} 位校验向量。把它们拼接起来，得到

\underline{d}_0^{K_{\mathrm{enc}}-1}=(m_0,m_1,\ldots,m_{A-1},r_0,r_1,\ldots,r_{L_{\mathrm{CRC}}-1}).

接收端拿到候选序列后，可以重新计算前 A 位的 CRC，并与后面的 L_{\mathrm{CRC}} 位比较。一致时，候选通过 CRC；不一致时，候选 CRC 失败。

CRC 没有增加信道观测，也不能单独纠正错误。它提供的是一个额外判断条件：CA-SCL 先保留至多 L_{\max} 条候选路径，再用 CRC 筛掉不满足校验约束的路径。路径度量相近时，CRC 往往能帮助译码器选出更可信的消息。

CRC masking：校验位为什么还要做模 2 加法

在某些 NR 控制信道中，CRC 校验位还会与由特定标识产生的掩码向量逐位做模 2 加法。设原 CRC 向量为 \underline{r}，掩码向量为 \underline{s}，两者长度均为 L_{\mathrm{CRC}}，则掩码后的 CRC 字段为

\underline{r}_{\mathrm{mask}}=\underline{r}\oplus\underline{s}.

\oplus 表示二元域上的逐位加法：相同为 0，不同为 1，不是普通整数加法。

举一个只用于说明运算方向的 4 位例子：

\underline{r}=1011,\qquad \underline{s}=0110.

逐位计算为

\begin{aligned} 1\oplus0&=1, &0\oplus1&=1, &1\oplus1&=0, &1\oplus0&=1. \end{aligned}

因此

\underline{r}_{\mathrm{mask}}=1011\oplus0110=1101.

接收端知道同一个掩码时，再做一次相同运算即可恢复 CRC：

\underline{r}=\underline{r}_{\mathrm{mask}}\oplus\underline{s}.

这个例子只展示模 2 运算，不代表完整的 NR 参数。实际 CRC 长度、掩码来源和比特顺序必须按 TS 38.212 的相应规定处理。

输入交织：只改变比特进入信息位的顺序

输入交织重新排列 CRC 后的 K_{\mathrm{enc}} 个比特，不改变比特数量，也不改变 Polar 母码长。设输入序列为

\underline{d}=(a,b,c,d,e,f)

定义索引序列

\boldsymbol{p}=(2,5,0,4,1,3).

本文约定正向交织为“输出位置 j 读取输入位置 p_j”：

v_j=d_{p_j},\qquad j\in[0,5].

逐项代入：

\begin{aligned} v_0&=d_2=c, &v_1&=d_5=f, &v_2&=d_0=a,\\ v_3&=d_4=e, &v_4&=d_1=b, &v_5&=d_3=d. \end{aligned}

因此

\underline{v}=(c,f,a,e,b,d).

接收端要使用逆索引。定义 \boldsymbol{p}^{-1} 满足

p^{-1}_{p_j}=j.

本例为

\boldsymbol{p}^{-1}=(2,4,0,5,3,1).

它表示原输入位置 k 的比特位于交织输出的 p^{-1}_k 位置，所以

d_k=v_{p^{-1}_k}.

例如 p^{-1}_0=2，所以 d_0=v_2=a；p^{-1}_1=4，所以 d_1=v_4=b。按 k=0,1,\ldots,5 逐项恢复，就得到原序列。

这个例子还说明：输入交织作用于 K_{\mathrm{enc}} 个 CRC 后比特；子块交织作用于 N 个 Polar 编码输出比特。两者长度不同，索引表不能混用。

Polar 编码：把 K_{\mathrm{enc}} 个比特放入 N 个位置

设信息位集合为 \mathcal{A}，冻结位集合为

\mathcal{A}^c=[0,N-1]\setminus\mathcal{A},\qquad |\mathcal{A}|=K_{\mathrm{enc}}.

按照信息位索引升序写作

\mathcal{A}=\{a_0,a_1,\ldots,a_{K_{\mathrm{enc}}-1}\},\qquad a_0<a_1<\cdots<a_{K_{\mathrm{enc}}-1},

则交织后的比特放入

u_{a_j}=v_j,\qquad j\in[0,K_{\mathrm{enc}}-1],

冻结位置写入预先约定的值，通常为 0。得到长度为 N 的 \underline{u} 后，进行 Polar 变换：

\underline{c}_0^{N-1}=\underline{u}_0^{N-1}\mathbf{G}_N.

理论学习中可以用 BEC、GA 或 PW 等方法得到可靠性排序；5G NR 互操作则必须使用规范规定的可靠性序列和信息位选择规则。

标准可靠性序列与 GA、PW 构造不是一回事

理论文章中，可以根据构造信噪比 \rho_{\mathrm{des}}，用 BEC、密度进化、GA、RM 或 PW 得到可靠性排序。这个排序服务于研究、教学或自定义链路。

5G NR 使用预定义可靠性顺序。为了明确本文的排序方向，记把规范序列按“可靠性从高到低”整理后的结果为

\boldsymbol{\pi}_{\mathrm{5G}}=(\pi_0,\pi_1,\ldots,\pi_{N-1}),\qquad \pi_0\text{最可靠}.

在这个记号下，信息位集合为

\mathcal{A}=\{\pi_0,\pi_1,\ldots,\pi_{K_{\mathrm{enc}}-1}\}.

这里的“前”指已经定义好的有序序列，不是无序集合。实际查表时，规范原表可能采用另一种排列方向，必须按 TS 38.212 的表定义转换或直接按其规则选取，不能凭记忆把 GA 排序替换进去。

对象	可靠性来源	适用场景
\boldsymbol{\pi}	信道模型、\rho_{\mathrm{des}} 和构造算法	教学、研究、自定义链路
\boldsymbol{\pi}_{\mathrm{5G}}	3GPP 规定的预定义顺序	5G NR 标准互操作

如果在每个仿真点用 GA 重新选位，再和固定的 NR 链路比较，比较的就不是同一套编码配置。构造信噪比 \rho_{\mathrm{des}} 和仿真信噪比 \rho_{\mathrm{sim}} 也应分开记录。

子块交织和率匹配：编码后序列还要怎样处理

Polar 编码得到 \underline{c} 后，NR 还要对这 N 个编码比特进行子块交织，得到 \underline{b}。设正向关系为

b_q=c_{\sigma_q},\qquad q\in[0,N-1],

其中 \sigma_q 给出交织输出位置 q 读取的码字位置。子块交织只改变 N 个编码比特的排列，不改变 N。

随后率匹配把 \underline{b} 变成 \underline{e}，长度由 N 变为 E。若 t_j 表示发送位置 j 对应子块交织后的位置，则

e_j=b_{t_j}=c_{\sigma_{t_j}}.

这个关系把两个索引阶段连起来：发送端先通过 \sigma 找到码字位置，再通过 t 决定哪些位置发送、哪些位置跳过或重复。实际 NR 的交织表、选择顺序和不同 E 情况下的处理，以 TS 38.212 为准。

一个完整的长度例子

下面构造一个用于学习的抽象例子。它只演示长度和模块关系，不代表可以直接与 5G NR 设备互操作的完整配置。设

A=40,\qquad L_{\mathrm{CRC}}=11,\qquad N=64,\qquad E=72.

第一步：消息向量

发送端先生成 40 位消息向量

\underline{m}_0^{39}=(m_0,m_1,\ldots,m_{39}).

所以 A=40。

第二步：附加 CRC

CRC 模块根据这 40 位消息生成 11 位校验向量 \underline{r}_0^{10}，拼接后得到

\underline{d}_0^{50}=(m_0,\ldots,m_{39},r_0,\ldots,r_{10}).

因此

K_{\mathrm{enc}}=A+L_{\mathrm{CRC}}=40+11=51.

CRC 模块把长度从 40 变成 51。

第三步：掩码和输入交织

如果当前控制信道适用 CRC masking，就对 11 个 CRC 比特按规范进行掩码；序列总长度仍为 51。之后输入交织只重新排列这 51 位，长度仍为 51。记交织后序列为

\underline{v}_0^{50}.

这里没有增加或减少比特，改变的只是每个比特所在的位置。

第四步：放入 Polar 输入向量

现在假设选定母码长 N=64，并从 64 个位置中选出 K_{\mathrm{enc}}=51 个信息位位置。冻结位数量为

N-K_{\mathrm{enc}}=64-51=13.

把 51 位 \underline{v} 按信息位顺序放入 \underline{u}，其余 13 个位置写入冻结值 0，得到长度 64 的 \underline{u}_0^{63}。Polar 编码后得到 64 位码字 \underline{c}_0^{63}。

第五步：子块交织和率匹配

子块交织仍然处理 64 个编码比特，只改变排列。随后假定当前资源要求发送 E=72 个比特。因为 E>N，这个抽象例子需要重复部分编码位置：

64\ \xrightarrow{\mathrm{subblock\ interleaving}}\ 64\ \xrightarrow{\mathrm{rate\ matching}}\ 72.

率匹配后的序列为 \underline{e}_0^{71}。注意，E=72 不意味着 Polar 码长变成 72，译码端仍然要恢复 64 个母码位置的 LLR。

整个长度链为

40\ \xrightarrow{\mathrm{CRC}}\ 51\ \xrightarrow{\mathrm{interleaving}}\ 51\ \xrightarrow{\mathrm{Polar\ encoding}}\ 64\ \xrightarrow{\mathrm{rate\ matching}}\ 72.

接收端怎样反向恢复

接收端按发送端的逆顺序处理，而不是直接对 72 个比特运行 Polar 译码。

第一步：从接收观测得到发送位置 LLR

设接收端得到 72 个信道观测

\underline{y}^{\mathrm{tx}}=(y^{\mathrm{tx}}_0,y^{\mathrm{tx}}_1,\ldots,y^{\mathrm{tx}}_{71}),\qquad j\in[0,71].

这是一个包含 72 个观测值的向量，索引 j 的范围是 [0,71]。在本文的 BPSK 约定下，e_j=0 映射到 +1，e_j=1 映射到 -1。若噪声方差为 \sigma^2，则

\lambda_j^{\mathrm{tx}}=\ln\frac{W(y_j^{\mathrm{tx}}\mid0)}{W(y_j^{\mathrm{tx}}\mid1)}=\frac{2y_j^{\mathrm{tx}}}{\sigma^2},\qquad j\in[0,71].

这里 \underline{y}^{\mathrm{tx}} 是接收观测，\underline{\lambda}^{\mathrm{tx}} 才是 LLR，二者不能混用。

第二步：撤销率匹配和子块交织

根据

e_j=c_{\sigma_{t_j}},

把发送位置的 LLR 放回码字位置。如果多个发送位置对应同一个码字位置，就把独立观测相加：

\lambda_i^c=\sum_{j=0}^{E-1}\mathbf{1}\{\sigma_{t_j}=i\}\lambda_j^{\mathrm{tx}},\qquad i\in[0,N-1].

本例的长度变化是

\underline{\lambda}^{\mathrm{tx}}\in\mathbb{R}^{72}\longrightarrow\underline{\lambda}^{c}\in\mathbb{R}^{64}.

如果某个位置没有观测，求和为空，得到 0；如果某个位置被重复发送多次，就把对应 LLR 相加。实际配置是打孔或缩短时，还要按第 17 篇的规则处理未发送位置。

第三步：Polar 译码和信息位抽取

CA-SCL 使用长度为 64 的 \underline{\lambda}^{c} 进行译码，得到至多 L_{\max} 条候选 \hat{\underline{u}}。对于每条候选，按信息位集合升序

\mathcal{A}=\{a_0,a_1,\ldots,a_{50}\},\qquad a_0<a_1<\cdots<a_{50},

抽取交织后的候选序列

\hat{v}_j=\hat{u}_{a_j},\qquad j\in[0,50].

这一步得到的是 51 位候选，还不是最终的消息向量。

第四步：逆输入交织和 CRC 检查

如果发送端采用 v_j=d_{p_j} 的交织方向，接收端按

\hat{d}_{p_j}=\hat{v}_j

恢复 CRC 后序列。若使用了 CRC masking，还要先用同一个掩码恢复 CRC 比特，再检查候选是否通过 CRC。也就是说，CRC 检查使用未掩码的校验字段，不能直接把掩码后的字段当作普通 CRC 结果。

通过检查的候选中，CA-SCL 选择路径度量最小者；如果所有候选都 CRC 失败，则按预先规定的回退规则选择路径，同时保留 CRC 失败状态。最后取候选的前 A 位作为消息向量：

\hat{\underline{m}}_0^{A-1}=(\hat{d}_0,\hat{d}_1,\ldots,\hat{d}_{A-1}).

因此本例的接收长度变化为

72\ \xrightarrow{\mathrm{LLR}}\ 72\ \xrightarrow{\mathrm{inverse\ rate\ matching}}\ 64\ \xrightarrow{\mathrm{CA\text{-}SCL}}\ 51\ \xrightarrow{\mathrm{inverse\ interleaving}}\ 51\ \xrightarrow{\mathrm{CRC\ check}}\ 40.

72、64、51、40 分别对应发送位置、Polar 母码位置、CRC 后序列和最终消息向量，不能任意替换。

标准链路和学习版仿真链路的边界

学习 Polar 码时，常用一个简化模型：取 N=2^n，冻结位全为 0，根据 GA 或 BEC 构造信息位集合，然后用 SC 或 SCL 译码。这种模型适合推导和验证基本算法。

5G NR 链路还要遵守规范中的具体约定：

• CRC 长度和生成规则；
• 某些控制信道适用的 CRC masking；
• 输入交织、子块交织和它们的索引方向；
• 预定义可靠性序列和信息位选择；
• N 与 E 的取值边界及率匹配索引；
• 发送端与接收端的比特顺序。

回看整个系列

本系列的主线可以压缩为

\begin{aligned} &\text{信道极化}\rightarrow\text{子信道可靠性}\rightarrow\text{信息位与冻结位}\rightarrow\text{Polar编码}\\ &\rightarrow\text{SC/SCL/CA-SCL译码}\rightarrow\text{率匹配}\rightarrow\text{5G NR链路与AWGN仿真}. \end{aligned}

信道极化说明为什么不同位置的可靠性会分化；构造方法把可靠性变成信息位集合 \mathcal{A}；冻结位让编码输入满足约束；Polar 变换把输入向量变成母码字；SC、SCL 和 CA-SCL 说明接收端怎样利用 LLR 恢复候选；CRC 为候选选择增加校验条件；率匹配把母码长 N 适配到发送长度 E；5G NR 规范把这些模块固定成可以互操作的处理顺序。

本篇小结

5G NR 中的 Polar 处理可以按长度和方向检查：A 位消息向量经过 CRC 变成 K_{\mathrm{enc}} 位，经过交织后放入长度为 N 的 Polar 输入向量，编码和子块交织仍保持长度 N，率匹配最后生成长度 E 的发送序列。

接收端反向执行：从接收观测得到发送位置 LLR，撤销率匹配和子块交织，恢复 N 个母码位置的 LLR，再用 CA-SCL 得到候选，逆交织后进行 CRC 检查，最后输出 A 位消息向量。

标准预定义可靠性序列和 GA、PW 等研究构造方法必须分开；N 和 E 必须分开；CRC 失败和消息向量错误也必须分开统计。下一篇将把这些模块接入 AWGN 仿真，观察 BER 和 BLER 的实际结果。

参考

• 3GPP, NR; Multiplexing and channel coding, TS 38.212, V17.9.0, Mar. 2023, §§5.3–5.4.
• 3GPP, NR; Physical channels and modulation, TS 38.211, V17.9.0, Mar. 2023, §§7.3.2–7.3.3.
• E. Arıkan, “Channel polarization: A method for constructing capacity-achieving codes for symmetric binary-input memoryless channels,” IEEE Transactions on Information Theory, vol. 55, no. 7, pp. 3051–3073, Jul. 2009, doi: 10.1109/TIT.2009.2021379.
• K. Niu and K. Chen, “CRC-aided decoding of polar codes,” IEEE Communications Letters, vol. 16, no. 10, pp. 1668–1671, Oct. 2012, doi: 10.1109/LCOMM.2012.090312.121720.