Polar化为什么发生：从BEC随机递归到AWGN的LLR分布

第 5 篇展示了第一次极化，第 6 篇定义了容量和 Bhattacharyya 参数。本篇回答更本质的问题：为什么递归许多层以后，子信道会越来越接近完全可靠或完全不可靠？

本文使用 0-based 索引。接收观测向量写作 $\underline{y}$ ，LLR 向量写作 $\underline{\lambda}$ ；码字比特 $c_i$ 和 BPSK 符号 $x_i$ 分开记号。递归码长记为 $N=2^n$ 。

任意 B-DMC 下的信息守恒

信道分裂会产生一条较差和一条较好的子信道，但“变好”和“变坏”不能理解成信息凭空增加或消失。要把这件事说清楚，先要利用二阶核的可逆性确认变换前后的信息总量相同；这样，后面看到的可靠性差异才可以理解为信息在两条分支之间重新分配。

设基础信道是二元输入离散无记忆信道，输入集合为 $\mathcal X=\{0,1\}$ ，输出集合为 $\mathcal Y$ 。下文的 $I(W)$ 表示均匀二元输入下的对称互信息， $Z(W)$ 表示 Bhattacharyya 参数。令 $U_0,U_1$ 独立且均匀，使用二阶核：

C_0=U_0\oplus U_1,\qquad C_1=U_1

两个编码比特经过两个独立的 $W$ ，得到 $Y_0,Y_1$ 。核可逆，因为 $U_1=C_1$ 、 $U_0=C_0\oplus C_1$ 。互信息链式法则给出：

I(U_0,U_1;Y_0,Y_1)=I(U_0;Y_0,Y_1)+I(U_1;Y_0,Y_1\mid U_0)

右边两项正是减号和加号子信道的对称容量。另一方面， $C_0,C_1$ 独立且均匀，两个物理信道相互独立，因此：

I(C_0,C_1;Y_0,Y_1)=I(C_0;Y_0)+I(C_1;Y_1)=2I(W)

可逆变换不改变互信息，所以：

I(W^-)+I(W^+)=2I(W)

递归到 $N=2^n$ 后：

\sum_{i=0}^{N-1}I\left(W_N^{(i)}\right)=NI(W)

极化重新分配可靠性，但没有制造额外信息。

Bhattacharyya 参数的递推边界

信息守恒只说明总量没有改变，还没有告诉我们可靠性指标在递归时如何变化。为了追踪“变好”和“变坏”的程度，需要把第 6 篇引入的 $Z(W)$ 代入两个分支：加号分支可以得到精确等式，减号分支通常只能得到上界，而 BEC 的特殊性正体现在这个上界会变成等式。

定义：

Z(W)=\sum_{y\in\mathcal Y}\sqrt{W(y\mid0)W(y\mid1)}

加号分支的等式

加号分支保留前一个比特作为边信息，所以两次观测对当前比特的区分作用能够分开计算。把定义中的求和按两个观测量整理后，两个相同的 Bhattacharyya 因子相乘，便得到 $Z(W^+)=Z(W)^2$ 。

加号子信道定义为：

W^+(y_0,y_1,u_0\mid u_1)=\frac12W(y_0\mid u_0\oplus u_1)W(y_1\mid u_1)

Bhattacharyya 参数还要对输出中的 $u_0$ 求和，即：

Z(W^+)=\sum_{u_0\in\{0,1\}}\sum_{y_0,y_1}\sqrt{W^+(y_0,y_1,u_0\mid0)W^+(y_0,y_1,u_0\mid1)}

固定 $u_0$ 后：

\sqrt{W^+(y_0,y_1,u_0\mid0)W^+(y_0,y_1,u_0\mid1)}=\frac12\sqrt{W(y_0\mid u_0)W(y_0\mid u_0\oplus1)}\sqrt{W(y_1\mid0)W(y_1\mid1)}

$u_0=0$ 和 $u_0=1$ 时，第一根号都等于 $\sqrt{W(y_0|0)W(y_0|1)}$ 。两个 $1/2$ 项相加为 1，且 $y_0,y_1$ 的求和因子化：

\begin{aligned}Z(W^+)&=\sum_{y_0,y_1}\sqrt{W(y_0\mid0)W(y_0\mid1)}\sqrt{W(y_1\mid0)W(y_1\mid1)}\\&=\left(\sum_{y_0}\sqrt{W(y_0\mid0)W(y_0\mid1)}\right)\left(\sum_{y_1}\sqrt{W(y_1\mid0)W(y_1\mid1)}\right)\\&=Z(W)^2\end{aligned}

这里“分离”具体指双重求和变成两个单重求和的乘积。

减号分支的上界

减号分支看不到 $u_1$ ，所以要把 $u_1=0$ 和 $u_1=1$ 两种情况相加。下面完全从 Bhattacharyya 参数的定义出发，按照 Arıkan 论文 Proposition 5 及其附录 D 的证明展开。

减号子信道为：

W^-(y_0,y_1\mid u_0)=\frac12\sum_{u_1\in\{0,1\}}W(y_0\mid u_0\oplus u_1)W(y_1\mid u_1)

为了缩短书写，对固定的一对输出 $(y_0,y_1)$ 记：

\alpha=W(y_0\mid0),\qquad\delta=W(y_0\mid1),\qquad\beta=W(y_1\mid0),\qquad\gamma=W(y_1\mid1)

当 $u_0=0$ 时， $u_1=0$ 产生 $(0,0)$ ， $u_1=1$ 产生 $(1,1)$ ，所以：

W^-(y_0,y_1\mid0)=\frac12(\alpha\beta+\delta\gamma)

当 $u_0=1$ 时， $u_1=0$ 产生 $(1,0)$ ， $u_1=1$ 产生 $(0,1)$ ，所以：

W^-(y_0,y_1\mid1)=\frac12(\delta\beta+\alpha\gamma)

现在代入 Bhattacharyya 参数定义。注意这里仍然是对所有输出 $(y_0,y_1)$ 求和，没有引入新的概率分布：

\begin{aligned}Z(W^-)&=\sum_{y_0,y_1}\sqrt{W^-(y_0,y_1\mid0)W^-(y_0,y_1\mid1)}\\&=\frac12\sum_{y_0,y_1}\sqrt{(\alpha\beta+\delta\gamma)(\delta\beta+\alpha\gamma)}\end{aligned}

逐项建立上界

对每一个固定的 $(y_0,y_1)$ ，先证明：

\begin{aligned}&\sqrt{(\alpha\beta+\delta\gamma)(\delta\beta+\alpha\gamma)}\\&\le\left(\sqrt{\alpha\beta}+\sqrt{\delta\gamma}\right)\left(\sqrt{\alpha\gamma}+\sqrt{\delta\beta}\right)-2\sqrt{\alpha\beta\delta\gamma} \end{aligned}

为看清这个不等式的来源，记左边为 $A$ ，右边为 $B$ 。四个转移概率都非负，因此 $A\ge0$ 。对右边平方并整理，得到论文中使用的恒等式：

B^2-A^2=2\sqrt{\alpha\beta\delta\gamma}\left(\sqrt{\alpha}-\sqrt{\delta}\right)^2\left(\sqrt{\beta}-\sqrt{\gamma}\right)^2\ge0

同时， $B$ 也非负，因为它可以写成：

B=\sqrt{\beta\gamma}\left(\sqrt{\alpha}-\sqrt{\delta}\right)^2+\sqrt{\alpha\delta}\left(\sqrt{\beta}-\sqrt{\gamma}\right)^2+2\sqrt{\alpha\beta\delta\gamma}\ge0

因此 $B^2\ge A^2$ 且 $A,B\ge0$ ，所以 $A\le B$ 。这就证明了上面的逐项上界。这里的关键是：不等式对每一个输出对 $(y_0,y_1)$ 单独成立，之后才能对所有输出求和。

对上界求和

把逐项上界代回 $Z(W^-)$ ：

\begin{aligned}Z(W^-)&\le\frac12\sum_{y_0,y_1}\left(\sqrt{\alpha\beta}+\sqrt{\delta\gamma}\right)\left(\sqrt{\alpha\gamma}+\sqrt{\delta\beta}\right)\\&\quad-\sum_{y_0,y_1}\sqrt{\alpha\beta\delta\gamma}\end{aligned}

先展开第一项的乘积：

\begin{aligned}&\frac12\sum_{y_0,y_1}\left(\alpha\sqrt{\beta\gamma}+\beta\sqrt{\alpha\delta}+\gamma\sqrt{\alpha\delta}+\delta\sqrt{\beta\gamma}\right) \end{aligned}

利用转移概率的归一化关系：

\sum_{y_0}\alpha=\sum_{y_0}\delta=1,\qquad\sum_{y_1}\beta=\sum_{y_1}\gamma=1

以及 $Z(W)$ 的定义：

\sum_{y_0}\sqrt{\alpha\delta}=Z(W),\qquad\sum_{y_1}\sqrt{\beta\gamma}=Z(W)

四个展开项分别给出 $Z(W)$ ，前面的系数都是 $1/2$ ，因此第一部分等于：

\frac12\left(Z(W)+Z(W)+Z(W)+Z(W)\right)=2Z(W)

第二部分可以拆成两个独立求和：

\begin{aligned}\sum_{y_0,y_1}\sqrt{\alpha\beta\delta\gamma}&=\sum_{y_0,y_1}\sqrt{\alpha\delta}\sqrt{\beta\gamma}\\&=\left(\sum_{y_0}\sqrt{\alpha\delta}\right)\left(\sum_{y_1}\sqrt{\beta\gamma}\right)\\&=Z(W)^2 \end{aligned}

合并两部分，得到：

\boxed{Z(W^-)\le2Z(W)-Z(W)^2}

这就是一般 B-DMC 的减号分支上界。整个推导只使用了 Bhattacharyya 参数的求和定义、转移概率归一化和一个逐项不等式，没有把求和改写成某个函数的期望。

为什么 BEC 中会取等号

对于 BEC，每个输出符号只有两种情况：

如果输出是擦除符号，则 $W(y\mid0)=W(y\mid1)$ ，对应上面恒等式中的一个平方项为 0；
如果输出不是擦除符号，则它只可能由一个输入产生，即 $W(y\mid0)=0$ 或 $W(y\mid1)=0$ ，此时 $\sqrt{\alpha\beta\delta\gamma}=0$ 。

所以对 BEC 的任意输出对 $(y_0,y_1)$ ，上面的逐项不等式都取等号。于是一般上界在 BEC 上变成精确递推：

Z(W^-)=2Z(W)-Z(W)^2

这也是为什么 BEC 可以用一个擦除率精确描述每一级子信道，而一般 B-DMC 通常只能使用这个上界。

BEC 随机递归与条件期望

在 BEC 中，当前节点的擦除率为 $z$ 时，两个子节点的擦除率恰好是 $2z-z^2$ 和 $z^2$ 。递归树每向下一层就把每个节点分成这两个子节点；暂时随机选取其中一个子节点，便得到随机变量 $Z_n$ 。沿这条随机路径计算，正好可以把“所有子信道的平均擦除率”写成条件期望，并检验它是否保持不变。

对 $W=\mathrm{BEC}(\epsilon)$ ，每个合成子信道仍是 BEC，且 $Z$ 就是擦除率。设 $Z_0=\epsilon$ ，并令独立分支变量满足：

\Pr(B_{n+1}=-)=\Pr(B_{n+1}=+)=\frac12

随机路径递推为：

Z_{n+1}=\begin{cases}2Z_n-Z_n^2,&B_{n+1}=-,\\Z_n^2,&B_{n+1}=+.\end{cases}

长度为 $n$ 的每条路径对应一个 $W_{2^n}^{(i)}$ ，因此：

\mathbb E[Z_n]=\frac1{2^n}\sum_{i=0}^{2^n-1}Z\left(W_{2^n}^{(i)}\right)

固定 $Z_n=z$ 时使用全概率公式：

\begin{aligned}\mathbb E[Z_{n+1}\mid Z_n=z]&=\sum_{b\in\{-,+\}}\Pr(B_{n+1}=b\mid Z_n=z)\mathbb E[Z_{n+1}\mid Z_n=z,B_{n+1}=b]\\&=\frac12(2z-z^2)+\frac12z^2=z\end{aligned}

第一行是“结果乘条件概率再相加”，第二行使用了 $B_{n+1}$ 与当前状态独立。于是：

\mathbb E[Z_{n+1}\mid Z_n]=Z_n

再用全期望公式：

\mathbb E[Z_{n+1}]=\mathbb E\left[\mathbb E[Z_{n+1}\mid Z_n]\right]=\mathbb E[Z_n]

所以对所有 $n$ 都有 $\mathbb E[Z_n]=\epsilon$ 。对 BEC，若擦除率为 $z$ ，则 $H(U)=1$ 、 $H(U\mid Y)=z$ ，从而 $I(U;Y)=1-z$ 。因此：

I_n=I(V_n)=1-Z_n

这是 BEC 特有的容量关系，不是对 AWGN 任意成立的定义；同时 $\mathbb E[I_n]=1-\epsilon=I(W)$ 。

条件方差与 0/1 极化

条件期望守恒只说明平均擦除率不变：所有路径也可能永远停留在中间值。要证明极化确实发生，还要观察二阶矩和方差，确认中间状态的质量不断减少； $Q_n=Z_n(1-Z_n)$ 恰好在端点为零、在中间最大，配合鞅收敛就能把这种分化推进到 $0$ 和 $1$ 。

条件二阶矩和条件方差分别为：

\begin{aligned}\mathbb E[Z_{n+1}^2\mid Z_n=z]&=\frac12(2z-z^2)^2+\frac12(z^2)^2=2z^2-2z^3+z^4\\\operatorname{Var}(Z_{n+1}\mid Z_n=z)&=z^2(1-z)^2\end{aligned}

全方差公式进一步说明总体分散程度增加：

\operatorname{Var}(Z_{n+1})=\operatorname{Var}(Z_n)+\mathbb E\left[Z_n^2(1-Z_n)^2\right]

定义 $Q_n=Z_n(1-Z_n)$ 。利用上面的条件矩：

\mathbb E[Q_{n+1}\mid Z_n=z]=z(1-z)-z^2(1-z)^2=q(z)-q(z)^2

所以：

\mathbb E[Q_{n+1}]=\mathbb E[Q_n]-\mathbb E[Q_n^2]

这说明 $\mathbb E[Q_n]$ 单调不增。若 $0<\epsilon<1$ ，有限层中 $0<Z_n<1$ ，每一步严格递减；若 $\epsilon=0$ 或 1，则从一开始恒定。累加可得：

\sum_{n=0}^{m-1}\mathbb E[Q_n^2]=\mathbb E[Q_0]-\mathbb E[Q_m]\le\frac14

因此 $\mathbb E[Q_n^2]\to0$ 。有界鞅收敛定理给出 $Z_n\to Z_\infty$ 几乎处处；又因 $0\le Q_n^2\le1/16$ ，有界收敛定理给出：

\mathbb E\left[Z_\infty^2(1-Z_\infty)^2\right]=0

被积函数非负，所以：

Z_\infty\in\{0,1\}\qquad\text{almost surely}

这就是 BEC 的 0/1 极化。递归和极化定理见 Arıkan 2009；极化速度见 Arıkan–Telatar 2009。

为什么可靠子信道比例等于容量

已经知道极限只可能是 $0$ 或 $1$ ，还需要确定两类子信道各占多少。由于每一层路径等概率，端点变量的均值就是落在 $1$ 端的概率；把有限层的均值守恒与极限交换，就能由初始擦除率 $epsilon$ 算出不可靠和可靠两类的比例。

逻辑分三步。第一，鞅递推给出对每个有限 $n$ 的 $\mathbb E[Z_n]=\epsilon$ 。第二， $Z_n\to Z_\infty$ 几乎处处。第三， $0\le Z_n\le1$ ，有界收敛定理允许交换极限和期望：

\begin{aligned}\mathbb E[Z_\infty]&=\mathbb E\left[\lim_{n\to\infty}Z_n\right]\\&=\lim_{n\to\infty}\mathbb E[Z_n]\\&=\epsilon=\mathbb E[Z_0]\end{aligned}

因为极限是 0/1 变量：

\mathbb E[Z_\infty]=\Pr(Z_\infty=1)=\epsilon,\qquad \Pr(Z_\infty=0)=1-\epsilon

第 $n$ 层的 $2^n$ 条路径等概率，所以可靠子信道（ $Z$ 接近 0）的比例趋近于 $1-\epsilon=I(W)$ 。这不是每个子信道容量相同，而是平均值守恒且极限只剩两类。

用 N=8 检查递归

下面以一个小规模算例来对照。取 $\mathrm{BEC}(0.5)$ 并展开到 $N=8$ ，可以同时看到每条路径的可靠性、平均擦除率保持不变，以及按 $Z$ 排序后哪些位置最适合承载信息。

取 $W=\mathrm{BEC}(0.5)$ ，按路径顺序 $---,--+,-+-, -++, +--,+-+,++-,+++$ 得到：

\begin{array}{c|c|c|c}i&\text{路径}&Z(W_8^{(i)})&I(W_8^{(i)})=1-Z(W_8^{(i)})\\\hline0&---&0.99609375&0.00390625\\1&--+&0.87890625&0.12109375\\2&-+-&0.80859375&0.19140625\\3&-++&0.31640625&0.68359375\\4&+--&0.68359375&0.31640625\\5&+-+&0.19140625&0.80859375\\6&++-&0.12109375&0.87890625\\7&+++&0.00390625&0.99609375\end{array}

只检查一次平均擦除率：

\frac18\sum_{i=0}^{7}Z(W_8^{(i)})=0.5

表中 $I=1-Z$ ，所以平均容量由上式立即得到，不再重复写一行。按 $Z$ 从小到大排序：

\boldsymbol{\pi}=(7,6,5,3,4,2,1,0)

用最小 C++ 程序验证 BEC 随机递归

把两个分支写成一个最小程序，逐层输出平均 $Z_n$ 和中间量 $Q_n$ ，就能用数值结果重复核对“均值守恒、极化增强”这两个判断。

values 保存当前层全部子信道的 $Z$ 。expand 将每个节点扩展为减号、加号两个子节点；每轮结束仍调用它，是为了让下一轮循环看到下一层。

#include <iomanip>  // 控制输出小数位
#include <iostream> // 输出结果
#include <vector>   // 保存当前层所有 Z

// 减号分支的 BEC 擦除率：2z-z^2。
double minusBranch(double z) {
    return 2.0 * z - z * z;
}

// 加号分支的 BEC 擦除率：z^2。
double plusBranch(double z) {
    return z * z;
}

// 把当前层的每个节点扩展为两个子节点。
void expand(std::vector<double>& values) {
    std::vector<double> next;
    next.reserve(values.size() * 2);

    // 固定路径顺序：先减号，再加号。
    for (double z : values) {
        next.push_back(minusBranch(z)); // 路径追加 '-'
        next.push_back(plusBranch(z));  // 路径追加 '+'
    }

    // 用下一层替换当前层。
    values.swap(next);
}

int main() {
    constexpr double epsilon = 0.5;
    std::vector<double> values{epsilon}; // 第 0 层只有初始信道
    std::cout << std::fixed << std::setprecision(8);

    // level 是递归层数；第 level 层有 2^level 个子信道。
    for (int level = 0; level <= 4; ++level) {
        double meanZ = 0.0; // 平均擦除率 E[Z_n]
        double meanQ = 0.0; // 中间状态 E[Z_n(1-Z_n)]

        for (double z : values) {
            meanZ += z;
            meanQ += z * (1.0 - z);
        }

        const double count = static_cast<double>(values.size());
        meanZ /= count;
        meanQ /= count;

        std::cout << "n=" << level
                  << ", meanZ=" << meanZ
                  << ", meanQ=" << meanQ << std::endl;

        // 生成下一层，供下一轮循环统计。
        expand(values);
    }
}

预期 meanZ 每层都接近 0.5，meanQ 逐层下降。它验证的是 BEC 机制，不是 AWGN 性能曲线。

AWGN：从观测到原始 LLR

BEC 的状态可以用一个擦除率表示，而 AWGN 的接收值是连续实数；如果不先把观测转换成软信息，后面的递推就没有明确输入。采用 BPSK 和高斯噪声模型，可以直接算出原始 LLR 的定义、符号以及发送 0 时的分布。

采用 BPSK： $c_i=0$ 映射到 $x_i=+1$ ， $c_i=1$ 映射到 $x_i=-1$ 。接收模型为 $y_i=x_i+n_i$ ，其中 $n_i$ 服从均值 0、方差 $\sigma^2$ 的高斯分布。

W(y_i\mid0)=\frac1{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left(-\frac{(y_i-1)^2}{2\sigma^2}\right),\qquad W(y_i\mid1)=\frac1{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left(-\frac{(y_i+1)^2}{2\sigma^2}\right)

\lambda_i=\ln\frac{W(y_i\mid0)}{W(y_i\mid1)}=\frac{2y_i}{\sigma^2}

发送 0 时：

\lambda_i\mid c_i=0\sim\mathcal N\left(\frac2{\sigma^2},\frac4{\sigma^2}\right)

发送 1 时：

\lambda_i\mid c_i=1\sim\mathcal N\left(\frac{-2}{\sigma^2},\frac4{\sigma^2}\right)

AWGN 子信道 LLR 的完整递推

有了物理信道的原始 LLR，还要知道极化核如何组合两条 LLR 消息。减号分支会把两个似然比非线性地合并，加号分支则利用已知的前序比特改变一个 LLR 的符号；从四个转移概率出发，正好能把这两种组合规则和 min-sum 近似中被省略的修正项都看清楚。

先从减号子信道的定义开始。由于 $u_1$ 对接收端未知，需要把两种可能的 $u_1$ 等概率相加：

W^-(y_0,y_1\mid u_0)=\frac12\sum_{u_1\in\{0,1\}}W(y_0\mid u_0\oplus u_1)W(y_1\mid u_1)

因此，在 $u_0=0$ 和 $u_0=1$ 时分别有：

W^-(y_0,y_1\mid0)=\frac12\left[W(y_0\mid0)W(y_1\mid0)+W(y_0\mid1)W(y_1\mid1)\right]

W^-(y_0,y_1\mid1)=\frac12\left[W(y_0\mid1)W(y_1\mid0)+W(y_0\mid0)W(y_1\mid1)\right]

把这两个式子代入 LLR 定义，得到完整的减号分支：

L^-=\ln\frac{W^-(y_0,y_1\mid0)}{W^-(y_0,y_1\mid1)}=\ln\left(\frac{\frac12\left[W(y_0\mid0)W(y_1\mid0)+W(y_0\mid1)W(y_1\mid1)\right]}{\frac12\left[W(y_0\mid1)W(y_1\mid0)+W(y_0\mid0)W(y_1\mid1)\right]}\right)

分子和分母中的 $\frac12$ 会抵消。为了把结果写成 LLR 的双曲正切形式，只在这一步定义两个原始信道 LLR：

\lambda_0=\ln\frac{W(y_0\mid0)}{W(y_0\mid1)},\qquad\lambda_1=\ln\frac{W(y_1\mid0)}{W(y_1\mid1)}

由 $e^{\lambda_0}=W(y_0\mid0)/W(y_0\mid1)$ 和 $e^{\lambda_1}=W(y_1\mid0)/W(y_1\mid1)$ ，上式可继续写成：

L^-=\ln\frac{e^{\lambda_0+\lambda_1}+1}{e^{\lambda_0}+e^{\lambda_1}}

反双曲正切的基本恒等式为：

\operatorname{artanh}(x)=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)

令 $r=\tanh(\lambda_0/2)\tanh(\lambda_1/2)$ ，则上面的比值等于 $(1+r)/(1-r)$ 。令恒等式中的 $x=r$ ，便有：

L^-=2\operatorname{artanh}\left(\tanh\frac{\lambda_0}{2}\tanh\frac{\lambda_1}{2}\right)

再看加号子信道。此时 $u_0$ 作为边信息提供给接收端，因此不需要对它求和：

W^+(y_0,y_1,u_0\mid u_1)=\frac12W(y_0\mid u_0\oplus u_1)W(y_1\mid u_1)

固定已知的 $u_0$ 后，代入 $L^+$ 的定义：

L^+=\ln\frac{W^+(y_0,y_1,u_0\mid0)}{W^+(y_0,y_1,u_0\mid1)}=\ln\left(\frac{\frac12W(y_0\mid u_0)W(y_1\mid0)}{\frac12W(y_0\mid u_0\oplus1)W(y_1\mid1)}\right)=\ln\frac{W(y_0\mid u_0)W(y_1\mid0)}{W(y_0\mid u_0\oplus1)W(y_1\mid1)}

当 $u_0=0$ 时，初始公式具体为：

L^+\big|_{u_0=0}=\ln\frac{W(y_0\mid0)W(y_1\mid0)}{W(y_0\mid1)W(y_1\mid1)}=\ln\frac{W(y_0\mid0)}{W(y_0\mid1)}+\ln\frac{W(y_1\mid0)}{W(y_1\mid1)}=\lambda_0+\lambda_1

当 $u_0=1$ 时，初始公式具体为：

L^+\big|_{u_0=1}=\ln\frac{W(y_0\mid1)W(y_1\mid0)}{W(y_0\mid0)W(y_1\mid1)}=\ln\frac{W(y_0\mid1)}{W(y_0\mid0)}+\ln\frac{W(y_1\mid0)}{W(y_1\mid1)}=-\lambda_0+\lambda_1

合并两种情况：

L^+=\lambda_1+(-1)^{u_0}\lambda_0

译码器中把已判决的 $u_0$ 换成估计值 $\hat u_0$ 。

此外，实际工程应用中通常将 $L^-$ 进行 max-log 近似，利用 $\ln(e^r+e^s)\approx\max(r,s)$ 化简：

L^-\approx\max(\lambda_0+\lambda_1,0)-\max(\lambda_0,\lambda_1)=\operatorname{sgn}(\lambda_0)\operatorname{sgn}(\lambda_1)\min(|\lambda_0|,|\lambda_1|)

另外精确式的修正项为：

\begin{aligned}f(\lambda_0,\lambda_1)&=\operatorname{sgn}(\lambda_0)\operatorname{sgn}(\lambda_1)\min(|\lambda_0|,|\lambda_1|)\\&+\ln\left(1+e^{-|\lambda_0+\lambda_1|}\right)-\ln\left(1+e^{-|\lambda_0-\lambda_1|}\right)\end{aligned}

min-sum 丢弃的是后两项。修正项的符号取决于 $\lambda_0,\lambda_1$ 的符号；它会把精确结果的绝对值相对 min-sum 结果拉回一些，且在两个幅度接近时可能明显，不能把近似当恒等式。

从擦除率到 L-density

对 BEC 来说，一个数 $Z_i$ 就能完整表示子信道的擦除程度；AWGN 中同一个子信道在不同噪声实现下会产生不同的 LLR，单个数不再足够。于是可靠性必须改写成 LLR 的条件概率密度，并说明全零参考和前序判决正确这两个条件，后续递归才有明确的概率对象。

对第 $i$ 个合成子信道，定义发送全零码字且前序判决正确条件下的条件密度：

a_i(\ell)=p_{L_N^{(i)}\mid\underline U=\underline0,\,\hat{\underline U}_0^{i-1}=\underline0}(\ell)

全零只是 BMS 信道对称性与 Polar 线性带来的分析参考；实际仿真仍可随机发送信息比特。 $a_i(\ell)d\ell$ 表示 LLR 落在 $[\ell,\ell+d\ell)$ 内的条件概率，并且：

\int_{-\infty}^{+\infty}a_i(\ell)\,d\ell=1

由 LLR 定义，在对称 L-density 表示下：

Z_i=\int_{-\infty}^{+\infty}a_i(\ell)e^{-\ell/2}\,d\ell

密度进化 DE 在追踪什么

定义了 L-density 之后，问题变成分布如何穿过极化递归。两个输入 LLR 相加时，概率密度按卷积合成；经过减号分支的 box-plus 映射时，则要把联合分布的概率质量重新累积到输出位置。密度进化（DE）追踪的正是这两种分布变换，而不是某个单独的平均值。

设两个独立输入 LLR 为 $L_0,L_1$ ，密度为 $a_0$ 、 $a_1$ 。加号分支在全零参考下是 $L^+=L_0+L_1$ 。对任意集合 $A$ ：

\Pr(L^+\in A)=\iint\mathbf1\{\ell_0+\ell_1\in A\}a_0(\ell_0)a_1(\ell_1)\,d\ell_0d\ell_1

这是随机变量求和，因此密度是卷积：

a^+(\ell)=\int_{-\infty}^{+\infty}a_0(t)a_1(\ell-t)\,dt

只有在这一次递归的两个输入节点确实来自同一个信道时，才可以进一步写成 $a^+=a*a$ ；一般递归节点应保留 $a_0$ 与 $a_1$ 两个不同密度。

减号分支是 $L^-=f(L_0,L_1)$ 。对任意集合 $A$ ：

\Pr(L^-\in A)=\iint\mathbf1\{f(\ell_0,\ell_1)\in A\}a_0(\ell_0)a_1(\ell_1)\,d\ell_0d\ell_1

用 Dirac delta 可紧写为：

a^-(\ell)=\iint a_0(\ell_0)a_1(\ell_1)\delta\left(\ell-f(\ell_0,\ell_1)\right)\,d\ell_0d\ell_1

离散 DE 选择有限区间 $[-L_{\max},L_{\max}]$ 和网格间隔 $\Delta\ell$ ，用数组保存概率质量；加号做离散卷积，减号逐对计算 $f$ 并将质量累积到目标网格，还要处理尾部截断、插值和归一化。最后从密度计算 $Z_i$ 、互信息或错误概率，再排序。

BEC 与 AWGN 的对应关系

前面分别出现了 BEC 的标量递推和 AWGN 的密度递推，它们描述的是同一极化操作在两种信道上的不同表现。把输出、状态和两个分支放在一起比较，可以避免把 BEC 的公式直接套到连续输出的 BI-AWGN 上：前者适合解释机制，后者才对应实际构造和仿真。

项目	BEC	BI-AWGN
输出	0、1、擦除	连续实数
状态	一个 $Z_i=\epsilon_i$	一个 L-density $a_i(\ell)$
加号	$Z^+=Z^2$	LLR 相加，密度卷积
减号	$Z^-=2Z-Z^2$	box-plus，非线性映射
用途	手算、解释极化	构造与仿真

所以理论常用 BEC、实际仿真常用 AWGN 并不矛盾：前者解释机制，后者检验真实噪声和译码器。

为什么还需要高斯近似 GA

DE 保留完整密度，网格一细，卷积和非线性映射的计算量就会迅速增加；工程构造通常需要更轻量的状态表示。若把全零参考下的 LLR 近似为对称高斯分布，整个密度可以用均值概括，得到可递推的 GA 近似。

工程中常用高斯近似（Gaussian approximation，GA）把每个密度压缩为一个均值，并假设全零参考下的 LLR 近似服从对称高斯分布：

L\sim\mathcal N(\mu,2\mu)

在这个假设下，状态从函数 $a_i(\ell)$ 变成一个数 $\mu_i$ 。加号分支的均值直接相加：

\mu^+=\mu_0+\mu_1

减号分支仍需保留双曲正切变换的影响，通常引入 $\phi$ 函数：

\phi(\mu^-)=1-\left(1-\phi(\mu_0)\right)\left(1-\phi(\mu_1)\right)

第 10 篇和番外会从高斯假设、初始 LLR 均值以及 $\phi$ 的数值近似开始完整推导。这里先记住：GA 是对 DE 的受控压缩，不是把 BEC 的擦除率递推直接搬到 AWGN。

本篇结论

二阶核可逆，保证总信息量守恒。BEC 的两个等概率分支使随机路径满足鞅递推，平均擦除率不变；条件方差和全方差公式说明中间状态被持续拉开； $Q_n=Z_n(1-Z_n)$ 的递推再配合有界鞅收敛，最终得到 $Z_\infty\in\{0,1\}$ 。由于端点概率由初始平均值 $\epsilon$ 决定，可靠子信道比例正好是 $1-\epsilon=I(W)$ 。

进入 BI-AWGN 后，可靠性不再是一个擦除率，而是带有“全零参考、前序判决正确”条件的 LLR 密度 $a_i(\ell)$ 。加号分支对应密度卷积，减号分支对应 box-plus 的非线性映射；DE 追踪完整密度，GA 则把它压缩成均值。下一篇将把 DE 的离散实现继续展开。

参考

E. Arıkan, “Channel polarization: A method for constructing capacity-achieving codes for symmetric binary-input memoryless channels,” IEEE Transactions on Information Theory, vol. 55, no. 7, pp. 3051–3073, Jul. 2009, doi: 10.1109/TIT.2009.2021379.
E. Arıkan and E. Telatar, “On the rate of channel polarization,” IEEE International Symposium on Information Theory, pp. 1493–1497, Jun. 2009, doi: 10.1109/ISIT.2009.5205855.
S. B. Korada, E. Şaşoğlu, and R. Urbanke, “Polar Codes: Characterization of Exponent, Bounds, and Constructions,” IEEE Transactions on Information Theory, vol. 56, no. 12, pp. 6253–6264, Dec. 2010, doi: 10.1109/TIT.2010.2080990.
R. Mori and T. Tanaka, “Performance and Construction of Polar Codes on Symmetric Binary-Input Memoryless Channels,” IEEE Transactions on Information Theory, vol. 59, no. 5, pp. 2883–2901, May 2013, doi: 10.1109/TIT.2013.2248212.
I. Tal and A. Vardy, “How to construct polar codes,” IEEE Transactions on Information Theory, vol. 59, no. 10, pp. 6562–6582, Oct. 2013, doi: 10.1109/TIT.2013.2272694.
D. Williams, Probability with Martingales, Cambridge University Press, 1991.